💭Codeforces Round 929(div3)
A-Turtle Puzzle: Rearrange and Negate
题意
对一个数组执行两个操作：
- 对数组进行重新排序或保持元素顺序不变
- 选择连续的一段，对该段中的元素取相反数，也可以不选择任何一段，即保持所有的元素符号不变。
求进行上述操作之后数组的最大和是多少。
数据范围
$t(1≤t≤1000)$
$n(1≤n≤50)$
$a_i(-100\le a_i\le 100)$
思路
遍历数组，对所有的数取非负后相加。
参考代码
void solve() {
int n;cin >> n;
ll ans = 0ll;
for (int i = 0;i < n;i++) {
ll x;cin >> x;
if (x < 0)ans -= x;
else ans += x;
}
cout << ans << '\n';
}B-Turtle Math: Fast Three Task
题意
有一个数组，可以对数组中的数进行任意次下方两种操作：
- 将数移除
- 将该数的数值加1
求至少进行多少次上述操作，可以使数组所有元素之和是3的倍数？
数据范围
$t(1≤t≤10^4)$
$n(1≤n≤10^5)$
$a_i(1\le a_i\le 10^4)$
思路
统计数组$a$中模3为0、1、2的数量和余数总和。记总和为$sum$，余1的数量为$x$，余2的数量为$y$。考虑：
- 若$sum$模3为0，则不需要操作
- 若$sum$模3为2，则给任意一个数加1即可，操作1次。
- 若$sum$模3为1，若有余1的数，则去掉这个数即可，否则进行两次加1操作。
参考代码
void solve() {
int n;cin >> n;
vector<ll>aa(n);
ll ans = 0;
ll x = 0, y = 0;
for (int i = 0;i < n;i++) {
cin >> aa[i];
aa[i] %= 3;
ans += aa[i];
if (aa[i] == 1)x++;
else if (aa[i] == 2)y++;
}
if (ans%3 == 0) {
cout<<0<<'\n';
}
else if (ans % 3 == 2) {
cout << 1 << '\n';
}
else {
if (x > 0)cout << 1 << '\n';
else cout << 2 << '\n';
}
}C-Turtle Fingers: Count the Values of k
题意
给3个正整数$a,b,l$，找出满足$l=k\times a^x\times b^y$的$k$的个数，$k,x,y$均为非负整数。
数据范围
$t(1≤t≤10^4)$
$a,b,l(2\le a,b\le 100,1\le l\le 10^6)$
思路
$2^{20}\gt 10^6$，可知，$x,y$的范围不超过20。
预处理$a^x$和$b^y$，然后暴力遍历即可。
参考代码
void solve() {
ll a, b, l;cin >> a >> b >> l;
vector<ll>ax, by;
ax.push_back(1);by.push_back(1);
for (int i = 1;ax.back() <= l;i++) {
ax.push_back(ax.back() * a);
}
for (int i = 1;by.back() <= l;i++) {
by.push_back(by.back() * b);
}
set<ll>k;
for (int i = 0;i < ax.size();i++) {
for (int j = 0;j < by.size();j++) {
if (l%(ax[i] * by[j]) == 0) {
k.insert(l/(ax[i] * by[j]));
}
}
}
cout << k.size() << '\n';
}D-Turtle Tenacity: Continual Mods
题意
给数组$a$重新排序，判断是否存在排序使得$a_1 \text{ }mod\text{ } a_2 \text{ }mod\text{ } a_3\dots a_{n-1}\text{ }mod\text{ }a_n=0$。
数据范围
$t(1≤t≤10^4)$
$n(2≤n≤10^5)$
$a_i(1\le a_i\le 10^9)$
思路
思考$x\text{ }mod\text{ }y$
- 如果$x\lt y$，则结果还是$x$
- 如果$x=y$，则结果是0
如果最小的数是唯一的，则一定有解；如果最小的数不唯一，考虑是否有较大的数$z$使得$z\text{ }mod\text{ }x≠0$，如果存在，则有更小的唯一最小值，可以有解，否则无解。
参考代码
void solve() {
int n;cin >> n;
vector<ll>a(n);
for (int i = 0;i < n;i++) {
cin >> a[i];
}
sort(a.begin(), a.end());
if (a[0] != a[1]) {
cout << "YES\n";
return;
}
for (int i = 1;i < n;i++) {
if (a[i] % a[0] != 0) {
cout << "YES\n";
return;
}
}
cout << "NO\n";
}E-Turtle vs. Rabbit Race: Optimal Trainings
题意
训练量$k$是连续一段时间的每天的训练量的总和，每次训练的提高值$u$按照训练次数递减（第1次$u$，第2次$u-1$，第3次$u-2$，…，第$k$次$u-k+1$，，提高值可以是负数），每次给定一个起始日$l$和提高值$u$，寻找一个最佳的结束日$r$，使得训练提高值总和最高，如果有多个$r$的结果提供最高训练值，选$r$较小的那个。
数据范围
$t(1≤t≤10^4)$
$n(1≤n≤10^5)$
$a_i(1\le a_i\le 10^4)$
$q(1\le q\le 10^5)$
$l,u(1\le l\le n,1\le u \le 10^9)$
思路
训练提高值总量$S$与训练量$k$之间的关系是$S(k)=u\times k-\frac{k\times (k-1)}{2}$，是一个关于$k$先增后减的函数，最高值在$k=u+0.5$处取到，由于$k$为整数，$S(k)$的最高值应该在$u$和$u+1$处取到。
- 在对称轴左边，二分查找在$[l,u]$的范围内最靠近$u$的$k$的取值，即小于等于$u$的最后一个$k$值。
- 在对称轴右边，二分查找$[u+1,n]$的范围内最靠近$u+1$的$k$值，即大于等于$u+1$的第一个$k$值。
$k$值可以通过前缀和进行筛选，$k=pre[r]-pre[l-1]$，则对$pre$数组进行二分查找$u+pre[l-1]$和$u+1+pre[l-1]$即可。
对比这两个值对应的$S(k)$和$r$，以及只在$l$那天训练的效果，择优选择。
参考代码
ll f(ll u, ll k) {
return k * u - k * (k - 1) / 2;
}
void solve() {
int n;cin >> n;
vector<ll>a(n + 1);
vector<ll>pre(n + 1);
pre[0] = 0;a[0] = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
cin >> a[i];
pre[i] = pre[i - 1] + a[i];
}
int q;cin >> q;
while (q--) {
ll l, u;cin >> l >> u;
ll x = pre[l - 1];
int ru = upper_bound(pre.begin() + l, pre.end(), x + u) - pre.begin() - 1;
ll ans = a[l], ansr = l;
if (ru >= l && ru <= n) {
if (f(u, pre[ru] - x) > ans) {
ans = f(u, pre[ru] - x);
ansr = ru;
}
}
int ru1 = lower_bound(pre.begin() + l, pre.end(), x + u + 1) - pre.begin();
if (ru1 >= l, ru1 <= n) {
if (f(u, pre[ru1] - x) > ans) {
ans = f(u, pre[ru1] - x);
ansr = ru1;
}
}
cout << ansr << ' ';
}
cout << '\n';
}